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初学高数时搜索资料的学习笔记. 可能有错误或者不太严谨之处.

Euler 积分可以参考我的数分笔记与概统附录. 就不搬过来了.

内容目录:

• Euler 积分

  • Euler 积分的性质与积分上的应用.

  • 一些变换

  • 相关公式, 如

    • 点火公式推广
    • Gauss-Legendre 倍元公式推广
    • Rabbe 积分
    • Dobinski 公式

  • Digamma 函数

  • Riemann zeta 函数

• 手写笔记杂项

  • Gamma 函数的一种起源, 及其收敛性判断.

  • 递推公式与特殊值.

  • 重积分夹逼证明 $\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\sqrt{\pi }$$\Gamma\pqty{\dfrac{1}{2}} = \sqrt\pi$.

  • 勒让德倍量公式.

  • 高斯公式 (另一种定义). ⭐️

    • 99 的视频: 不用积分定义复数阶乘
    • SoME2 的参赛作品: 如何计算任意数的阶乘

  • 魏尔斯特拉斯公式. ⭐️

  • 余元公式.

  • 华里士公式及其等价无穷大公式. ⭐️

    注: 华里士公式可由 Beta 函数另一种形式直接得到.

  • 斯特林公式.

  • 高斯公式的简单推导.

  • Beta 函数的敛散性、连续性、对称关系.

  • Beta 函数的两个递推关系与几种其它形式.

  • 两类 Euler 积分的联系.

  • 又一次: 欧拉 - 高斯公式.

  • 余元公式的简单应用. (现在看来大可不必)

  • 勒让德公式对于正数的证明.

    注: 这以下的公式有误.

  • Euler 积分的应用 🌙

  • 两类 Euler 积分关系式的一般性证明.

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  • 一堆三角函数的无穷乘积与求和公式. ⭐️

  • 余元公式的另一种证明.

  • 上 (下) 不完全 Gamma 函数及其递推公式.

  • 阶乘幂. (请自行统一记号; 会在差分中更详细地讨论)

  • 库末融合超几何函数与库末方程.

  • 上下不完全 Gamma 函数的公式.

  • Beta 分布的性质与数字特征. ⭐️

  • 高维椎体的体积与投影. 🌙

  • n 维单纯形体积的两种计算思路. 🌙

  • n 维超球广义的体积与广义表面积. 🌙

  • 超球坐标系的变换.

• Lamber 函数

  • 基础概念
  • Lambert 函数的导数与积分.
  • 恒等式.
  • n 阶导数的递推式.
  • 泰勒级数.
  • 渐进状态.
  • 加法定理, 减法定理, 乘法定理.
  • 其它形式.
  • 牛顿迭代法, 哈雷迭代法, 数值估算.
  • 特殊值.
  • omega 常数及其性质.
  • 无理性与超越性.
  • Lambert 函数的应用.

• Bernoulli 多项式

• Euler 多项式